Autoregressiv Bevegelig Gjennomsnitt Med Eksogene Variablene

ARIMA-modeller med regressorer. En ARIMA-modell kan betraktes som en spesiell type regresjonsmodell - der den avhengige variabelen er stasjonærisert, og de uavhengige variablene er alle lags av den avhengige variabelen og eller av feilene - så det er rett og slett i utgangspunktet å utvide en ARIMA-modell for å inkorporere informasjon levert av ledende indikatorer og andre eksogene variabler du bare legger til en eller flere regressorer i prognosekvasjonen. Alternativt kan du tenke på en hybrid ARIMA-regresjonsmodell som en regresjonsmodell som inkluderer en korreksjon for autokorrelerte feil Hvis du har montert en multiple-regresjonsmodell og oppdager at de resterende ACF - og PACF-plottene viser en identifiserbar autoregressiv eller gjennomsnittlig signatur, for eksempel noen signifikant mønster av autokorrelasjoner og eller delvise autokorrelasjoner ved de første lagene og eller de årlige lagene, så vil du kanskje vurdere å legge til ARIMA-vilkårene lags av den avhengige variabelen og eller feilene til regresjonsmodellen for å eliminere autokorrelasjonen og ytterligere redusere den gjennomsnittlige kvadratfeilen. For å gjøre dette, ville du bare tilpasse regresjonsmodellen som en ARIMA-modell med regressorer, og du vil angi passende AR - og MA-termer for å passe mønsteret til autokorrelasjon du observerte i de opprinnelige residuals. Most high-end prognose programvare tilbyr en eller flere alternativer for å kombinere funksjonene til ARIMA og flere regresjonsmodeller I prognosen prosedyre i Statgraphics, kan du gjøre dette ved å angi ARIMA som modell type og deretter treffer Regresjonsknappen for å legge til regressorer Alas, du er begrenset til 5 ekstra regressorer Når du legger til en regressor til en ARIMA-modell i Statgraphics, legger den bokstavelig talt regressoren til høyre på ARIMA-prognosekvasjonen. For å bruke et enkelt tilfelle , anta at du først passer til en ARIMA 1,0,1 modell uten regressorer. Deretter er prognosekvotasjonen som er utstyrt med Statgraphics, som kan omskrives som. Merk at dette er en standard matematisk form som ofte brukes til ARIMA-modeller. Alle termer som involverer den avhengige variabelen - dvs. alle AR-termer og forskjeller - samles på venstre side av ligningen, mens alle vilkår som involverer erorrs - MA-vilkårene - samles på høyre side Nå, hvis du legger til en regressor X i prognosemodellen, er ligningen som er utstyrt med Statgraphics. Til, AR-delen av modellen og også differens-transformasjonen, hvis noen blir brukt på X-variabelen på nøyaktig samme måte som den påføres Y-variabelen før X multipliseres med regresjonskoeffisienten. Dette betyr at ARIMA 1,0,1-modellen er tilpasset feilene i regresjonen av Y på X, dvs. serien Y minus beta X. Hvordan kan du fortelle om det kan være nyttig å legge til en regressor til en ARIMA-modell. En tilnærming ville være å lagre RESIDUALS av ARIMA-modellen og deretter se på deres krysskorrelasjoner med andre potensielle forklarende variabler For eksempel, tilbakekalling at vi tidligere hadde tilpasset en regresjonsmodell til sesongjustert automatisk salg, hvor LEADIND-variabelen på 11 ledende økonomiske indikatorer viste seg å være litt signifikant i tillegg til lags av den stationære salgsvarianten. Kanskje LEADIND også ville være nyttig som regressor i den sesongmessige ARIMA-modellen vi senere monterte på automatisk salg. For å teste denne hypotesen ble RESIDUALS fra ARIMA 0,1,1 x 0,1,1 modell montert på AUTOSALE lagret. Deres krysskorrelasjoner med DIFF LOG LEADIND, plottet i Beskrivende Metoder Prosedyre, er som følger. Et par mindre tekniske poeng å merke seg her, vi har logget og differenced LEADIND for å stasjonere det fordi RESIMALENE til ARIMA-modellen også er logget og differensiert - dvs. uttrykt i prosentandeler. Også prosedyren Beskrivende metoder, som forutsetningen , liker ikke variabler som begynner med for mange manglende verdier Her ble de manglende verdiene ved begynnelsen av RESIDUALS-variablene erstattet av nuller - skrevet inn for hånd - før du kjører beskrivelsen av beskrivende metoder. Faktisk skal prognoseprosedyren automatisk tegne krysskorrelasjonsdiagrammer av residualene versus andre variabler, men grafen som er merket Residual Cross Correlation Plot, viser bare krysskorrelasjonene til inngangsvariabelen versus andre variabler. Vi ser at den mest signifikante krysskorrelasjonen er i lag 0 , men dessverre kan vi ikke bruke det til å prognose en måned framover. I stedet må vi forsøke å utnytte de mindre korrelasjonene ved lags 1 og eller 2 Som en rask test av om lag av DIFF LOG LEADIND sannsynligvis vil legge til noe i vår ARIMA-modell, kan vi bruke Multiple Regression-prosedyren til å regress RESIDUALS på lag med DIFF LOG LEADIND Her er resultatet av å regressere RESIDUALS på LAG DIFF LOG LEADIND, 1.R-kvadratverdien på bare 3 66 tyder på at ikke mye forbedring er mulig Hvis to lag med DIFF LOG LEADIND brukes, øker R-kvadratet bare til 4 06 Hvis vi går tilbake til ARIMA-prosedyren og legg til LAG DIFF LOG LEADIND, 1 som regressor, får vi følgende modelltilpassede resultater. Mindre teknisk punkt her lagret vi verdiene til LAG DIFF LOG LEADIND, 1 i en ny kolonne, fyllte de to manglende verdiene i begynnelsen med nuller og tilordnet den nye kolonnen navnet LGDFLGLEAD Vi ser at når en koeffisient for lag av DIFF LOG LEADIND estimeres samtidig med de andre parameterne i modellen, det er enda mindre signifikant enn det var i regresjonsmodellen for RESIDUALS. Forbedringen i den rotte-kvadratiske feilen er bare for liten til å bli merkbar. Det negative resultatet vi oppnådd her bør ikke antas at regressorer aldri vil være nyttige i ARIMA-modeller eller andre tidsseriemodeller. For eksempel er variabler som måler annonsering eller prisnivå eller forekomst av kampanjer ofte nyttige for å øke ARIMA-modellene og eksponensielle utjevningsmodeller for prognostiser salg på nivå av firmaet eller produktet Husk at variabelen som analyseres her - landsomfattende salg hos bilforhandlere - er en svært aggregert macr oekonomiske tidsserier Vi har nå lært at virkningen på en makroøkonomisk variabel av hendelser som skjedde i tidligere perioder, for eksempel endringer i ulike økonomiske faktorer som utgjør indeksen for ledende indikatorer, ofte er klart representert i den tidligere historien til den variabelen selv Forskjellige verdier i andre makroøkonomiske tidsserier kan ha lite å legge til i en prognosemodell som allerede har utnyttet historien til de opprinnelige tidsseriene. Ledende økonomiske indikatorer er ofte mer nyttige når de brukes som de er ment - nemlig som indikatorer for vendepunkter i konjunktursykluser som kan ha betydning for retningen av langsiktige trendprojeksjoner. Innføring i ARIMA nonseasonal models. ARIMA p, d, q prognoselikning ARIMA-modeller er i teorien den mest generelle klassen av modeller for prognoser for en tidsserie som kan gjøres for å være stasjonær ved differensiering om nødvendig, kanskje i forbindelse med ikke-lineære transformasjoner som logging eller defla ting om nødvendig En tilfeldig variabel som er en tidsserie er stasjonær hvis dens statistiske egenskaper er konstant over tid En stasjonær serie har ingen trend, dens variasjoner rundt sin gjennomsnitt har en konstant amplitude og det vinkler på en konsekvent måte, Termale tilfeldige tidsmønstre ser alltid like ut i statistisk forstand Den sistnevnte tilstanden betyr at dets autokorrelasjonskorrelasjoner med sine egne tidligere avvik fra middelværdien forblir konstant over tid, eller tilsvarende at dets strømspektrum forblir konstant over tid En tilfeldig variabel i denne form kan sees som vanlig som en kombinasjon av signal og støy, og signalet hvis det er tydelig, kan være et mønster av rask eller langsom gjennomsnittlig reversering eller sinusformet oscillasjon eller rask veksling i tegn, og det kan også ha en sesongkomponent An ARIMA-modellen kan sees som et filter som forsøker å skille signalet fra støyen, og signalet blir deretter ekstrapolert inn i fremtiden for å oppnå prognoser. ARIMA prognose likning for en stasjonær tidsserie er en lineær ie regresjonstype likning der prediktorene består av lags av den avhengige variabelen og eller lagrer prognosefeilene som er. Predittverdien av Y er en konstant og eller en vektet sum av en eller nyere verdier av Y og eller en vektet sum av en eller flere nylige verdier av feilene. Hvis prediktorene bare består av forsinkede verdier av Y, er det en ren autoregressiv selvregressert modell, som bare er et spesielt tilfelle av en regresjonsmodell og som kan være utstyrt med standard regresjonsprogramvare. For eksempel er en førsteordens autoregressiv AR 1-modell for Y en enkel regresjonsmodell der den uavhengige variabelen bare er Y forsinket med en periode LAG Y, 1 i Statgraphics eller YLAG1 i RegressIt If noen av prediktorene er lags av feilene, en ARIMA-modell er det IKKE en lineær regresjonsmodell, fordi det ikke er mulig å spesifisere siste periode s-feil som en uavhengig variabel feilene må beregnes i en periode til periode grunnlag når modellen er montert på dataene Fra et teknisk synspunkt er problemet med å bruke forsinkede feil som prediktorer at modellens spådommer ikke er lineære funksjoner av koeffisientene, selv om de er lineære funksjoner i tidligere data. Så, koeffisienter i ARIMA Modeller som inneholder forsinkede feil må estimeres ved ikke-lineære optimaliseringsmetoder bakkeklatring i stedet for bare ved å løse et system av ligninger. Akronymet ARIMA står for automatisk-regressiv integrert flytende gjennomsnitt Lags av den stationære serien i prognoselikningen kalles autoregressive termer, Lags av prognosefeilene kalles glidende gjennomsnittlige betingelser, og en tidsserie som må differensieres for å bli stasjonær, sies å være en integrert versjon av en stasjonær serie Tilfeldige-gange og tilfeldige trendmodeller, autoregressive modeller og eksponensiell utjevning Modeller er alle spesielle tilfeller av ARIMA-modeller. En nonseasonal ARIMA-modell er klassifisert som en ARIMA p, d, q modell, hvor. p er nummen ber av autoregressive termer. d er antall ikke-soneforskjeller som trengs for stasjonar, og. q er antall forsinkede prognosefeil i prediksjonsligningen. Forutsigelsesligningen er konstruert som følger. Først, la y angi den forskjellen på Y som betyr. Merk at den andre forskjellen på Y d2-tilfellet ikke er forskjellen fra 2 perioder siden. Det er heller den første forskjellen-av-første forskjellen som er den diskrete analogen til et andre derivat, dvs. den lokale akselerasjonen av serien i stedet for sin lokale trend. Med hensyn til y er den generelle prognosekvasjonen her. De bevegelige gjennomsnittlige parametrene s er definert slik at deres tegn er negative i ligningen, etter konvensjonen som er innført av Box og Jenkins. Noen forfattere og programvare inkludert R programmeringsspråket definerer dem slik at de har pluss tegn i stedet Når de faktiske tallene er plugget inn i ligningen, er det ingen tvetydighet, men det er viktig å vite hvilken konvensjon programvaren bruker s når du leser utdata Ofte er parameterne angitt der med AR 1, AR 2, og MA 1, MA 2 osv. For å identifisere riktig ARIMA-modell for Y begynner du ved å bestemme rekkefølgen av differensier som du trenger å stasjonere serien og fjern de brutto egenskapene til sesongmessigheten, kanskje i forbindelse med en variansstabiliserende transformasjon som logging eller deflating Hvis du stopper på dette punktet og forutser at differensierte serier er konstante, har du bare montert en tilfeldig tur eller tilfeldig trendmodell Den stasjonære serien kan imidlertid fortsatt ha autokorrelerte feil, noe som tyder på at et eller annet antall AR-termer p 1 og eller noen nummer MA-termer q 1 også er nødvendig i prognosekvasjonen. Prosessen med å bestemme verdiene p, d og q som er best for en gitt tidsserie, vil bli diskutert i senere avsnitt av notatene hvis koblinger er øverst på denne siden, men en forhåndsvisning av noen av de ikke-sasonlige ARIMA-modellene som ofte oppstår, er giv en below. ARIMA 1,0,0 førsteordens autoregressive modell hvis serien er stasjonær og autokorrelert, kanskje den kan forutses som et flertall av sin egen tidligere verdi, pluss en konstant Forutsigelsesligningen i dette tilfellet er. som er Y regresert på seg selv forsinket av en periode Dette er en ARIMA 1,0,0 konstant modell Hvis gjennomsnittet av Y er null, vil ikke det konstante begrepet bli inkludert. Hvis hellingskoeffisienten 1 er positiv og mindre enn 1 i størrelse, må den være mindre enn 1 i størrelsesorden hvis Y er stasjonær, beskriver modellen gjennomsnittsreferanseadferd, der neste periode s-verdi skal anslås å være 1 ganger så langt unna gjennomsnittet som denne periodens verdi. Hvis 1 er negativ, antyder det å bety - reverting oppførsel med skifting av tegn, dvs. det forutsier også at Y vil være under gjennomsnittlig neste periode hvis den er over gjennomsnittet denne perioden. I en andre-ordens autoregressiv modell ARIMA 2,0,0 ville det være en Y t -2 termen til høyre også, og så videre Avhengig av tegn og størrelser av koeffisientene, kunne en ARIMA 2,0,0 modell beskrive et system hvis gjennomsnitts reversering foregår i sinusformet oscillerende mote, som bevegelse av en masse på en fjær som er utsatt for tilfeldige støt. ARIMA 0,1,0 tilfeldig gå Hvis serien Y ikke er stasjonær, er den enkleste modellen for den en tilfeldig walk-modell, som kan betraktes som et begrensende tilfelle av en AR 1-modell hvor den autoregressive koeffisienten er lik 1, dvs. en serie med uendelig sakte gjennomsnitt reversjon Forutsigelsesligningen for denne modellen kan skrives som. Hvor konstant er den gjennomsnittlige perioden til periode-endringen, dvs. den langsiktige driften i Y Denne modellen kunne monteres som en ikke-avskjæringsregresjonsmodell hvor den første forskjellen av Y er den avhengige variabelen Siden den bare inneholder en ikke-soneforskjell og en konstant term, er den klassifisert som en ARIMA 0,1,0-modell med konstant. Den tilfeldige-walk-uten-drift-modellen ville være en ARIMA 0,1,0 modell uten konstant. ARIMA 1,1,0 differenced f Førsteordens autoregressive modell Hvis feilene i en tilfeldig turmodell er autokorrelert, kan problemet løses ved å legge til et lag av den avhengige variabelen til prediksjonsligningen - dvs. ved å regresse den første forskjellen på Y i seg selv forsinket med en periode Dette vil gi følgende prediksjonsligning. Det kan omarrangeres til. Dette er en førsteordens autoregressiv modell med en rekkefølge av ikke-soneforskjeller og en konstant term, dvs. en ARIMA 1,1,0-modell. ARIMA 0,1,1 uten konstant enkel eksponensiell utjevning En annen strategi for korrigering av autokorrelerte feil i en tilfeldig gangmodell er foreslått av den enkle eksponensielle utjevningsmodellen. Husk at for noen ikke-stationære tidsserier, for eksempel de som utviser støyende svingninger rundt et sakte varierende middel, vil ikke tilfeldig gangmodellen utfør så vel som et bevegelige gjennomsnitt av tidligere verdier Med andre ord, i stedet for å ta den nyeste observasjonen som prognosen for neste observasjon, er det bedre å bruke en ave raseri av de siste observasjonene for å filtrere ut støy og mer nøyaktig estimere det lokale gjennomsnittet. Den enkle eksponensielle utjevningsmodellen bruker et eksponentielt vektet glidende gjennomsnitt av tidligere verdier for å oppnå denne effekten. Forutsigelsesligningen for den enkle eksponensielle utjevningsmodellen kan skrives i en rekke matematisk ekvivalente former hvorav den ene er den såkalte feilkorrigeringsformen, der den forrige prognosen er justert i retning av feilen som den gjorde. Fordi e t-1 Y t-1 - t-1 per definisjon , dette kan skrives om som en ARIMA 0,1,1-uten-konstant prognosekvasjon med 1 1 - Dette betyr at du kan tilpasse en enkel eksponensiell utjevning ved å spesifisere den som en ARIMA 0,1,1 modell uten konstant , og den estimerte MA 1-koeffisienten tilsvarer 1-minus-alfa i SES-formelen. Husk at i SES-modellen er gjennomsnittsalderen for dataene i de 1-årige prognosene 1 som betyr at de vil ha en tendens til å ligge bak trender eller vendepunkter med om lag 1 perioder Det følger at gjennomsnittsalderen for dataene i de 1-fremadsprogede prognosene for en ARIMA 0,1,1-uten-konstant modell er 1 1 - 1 For eksempel hvis 1 0 8, gjennomsnittlig alder er 5 Når 1 nærmer seg 1, blir ARIMA 0,1,1-uten-konstant modell et veldig langsiktig glidende gjennomsnitt, og når 1 nærmer seg 0 blir det en tilfeldig tur uten driftmodell. Hva er s Den beste måten å korrigere for autokorrelasjon legge til AR-vilkår eller legge til MA-vilkår I de to foregående modellene ble problemet med autokorrelerte feil i en tilfeldig turmodell fikset på to forskjellige måter ved å legge til en forsinket verdi av differensierte serier til ligningen eller legge til en forsinket verdi av prognosen feil Hvilken tilnærming er best En tommelfingerregel for denne situasjonen, som vil bli nærmere omtalt senere, er at positiv autokorrelasjon vanligvis behandles best ved å legge til et AR-uttrykk for modellen og Negativ autokorrelasjon er vanligvis best behandlet ved å legge til en MA-term i forretnings-og økonomisk tim e-serie, oppstår negativ autokorrelasjon ofte som en artefakt av differensiering. Generelt reduserer differensiering positiv autokorrelasjon og kan til og med forårsake en bryter fra positiv til negativ autokorrelasjon. Så, ARIMA 0,1,1-modellen, hvor differensiering er ledsaget av en MA-term , brukes hyppigere enn en ARIMA 1,1,0-modell. ARIMA 0,1,1 med konstant enkel eksponensiell utjevning med vekst Ved å implementere SES-modellen som en ARIMA-modell, får du faktisk en viss fleksibilitet. Først og fremst er den estimerte MA 1 koeffisient er tillatt å være negativ Dette tilsvarer en utjevningsfaktor større enn 1 i en SES-modell, som vanligvis ikke er tillatt i SES-modellprosedyre. For det andre har du muligheten til å inkludere en konstant periode i ARIMA-modellen hvis du ønske, for å estimere en gjennomsnittlig ikke-null-trend. ARIMA 0,1,1-modellen med konstant har prediksjonsligningen. Engangs-prognosene fra denne modellen er kvalitativt lik SES-modellen, bortsett fra at t han bane av de langsiktige prognosene er typisk en skrånende linje hvis helling er lik mu i stedet for en horisontal linje. ARIMA 0,2,1 eller 0,2,2 uten konstant lineær eksponensiell utjevning Lineære eksponensielle utjevningsmodeller er ARIMA-modeller som bruk to ikke-sekundære forskjeller i sammenheng med MA-termer Den andre forskjellen i en serie Y er ikke bare forskjellen mellom Y og seg selv forsinket av to perioder, men det er den første forskjellen i den første forskjellen - forandringen - veksling av Y ved periode t Således er den andre forskjellen på Y ved periode t lik Y t-Y t-1 - Y t-1 - Y t-2 Y t - 2Y t-1 Y t-2 A sekund forskjellen på en diskret funksjon er analog med et andre derivat av en kontinuerlig funksjon som måler akselerasjonen eller krumningen i funksjonen på et gitt tidspunkt. ARIMA 0,2,2-modellen uten konstant forutser at den andre forskjellen i serien er lik en lineær funksjon av de to siste prognosefeilene. som kan omarrangeres as. wher e 1 og 2 er MA 1 og MA 2-koeffisientene Dette er en generell lineær eksponensiell utjevningsmodell som i det vesentlige er den samme som Holt s-modellen, og Brown s-modellen er et spesielt tilfelle. Det bruker eksponentielt vektede glidende gjennomsnitt for å anslå både et lokalt nivå og en lokal trend i serien De langsiktige prognosene fra denne modellen konvergerer til en rett linje, hvis skråning avhenger av den gjennomsnittlige trenden observert mot slutten av serien. ARIMA 1,1,2 uten konstant fuktet trend lineær eksponensiell utjevning. Denne modellen er illustrert i de tilhørende lysbildene på ARIMA-modellene. Det ekstrapolerer den lokale trenden i slutten av serien, men flater den ut på lengre prognoshorisonter for å introdusere konservatisme, en praksis som har empirisk støtte. Se artikkelen om Hvorfor Dampet Trend fungerer av Gardner og McKenzie og Golden Rule-artikkelen av Armstrong et al for detaljer. Det er generelt tilrådelig å holde seg til modeller der minst en av p og q ikke er større enn 1, dvs. ikke prøv å passe på en modell som ARIMA 2,1,2, da dette sannsynligvis vil føre til overfitting og fellesfaktorproblemer som diskuteres mer detaljert i notatene om den matematiske strukturen til ARIMA-modeller. Implementering av ARIMA-modeller som for eksempel de som er beskrevet ovenfor, er Enkel å implementere på et regneark. Prediksjonsligningen er bare en lineær ligning som refererer til tidligere verdier av originale tidsserier og tidligere verdier av feilene. Dermed kan du sette opp et ARIMA prognose regneark ved å lagre dataene i kolonne A, prognoseformelen i kolonne B og feildataene minus prognosene i kolonne C Forutsigelsesformelen i en typisk celle i kolonne B ville rett og slett være et lineært uttrykk som refererer til verdier i forrige rader av kolonner A og C, multiplisert med de aktuelle AR - eller MA-koeffisientene lagret i celler andre steder på regnearket. Oppsummering og simulering av autoregressive Hilbertian-prosesser med eksogene variabler. Siter denne artikkelen som Damon, J Guillas, S Stat Infer Stoch Proce ss 2005 8 185 doi 10 1007 s11203-004-1031-6.Vi presenterer den autoregressive Hilbertian med eksogene variabler modell ARHX som har til hensikt å ta hensyn til avhengighetsstrukturen av tilfeldige kurver sett på som H-verdierte tilfeldige variabler, hvor H er en Hilbert Funksjonsrommet under påvirkning av forklarende variabler Begrensede teoremer og konsekvente estimatorer er avledet fra en autoregressiv representasjon En simuleringsstudie illustrerer estimatets nøyaktighet ved å sammenligne prognoser med andre funksjonelle modeller. Autoregressive prosesser Eksogene variabler Funksjonsdata prognose simulering ARHX. Baillie, RT 1979 Asymptotic prediction betyr squared feil for vektor autoregressive modeller Biometrika 66 675 678 MATH MathSciNet Google Scholar. Bauer, G Deistler, M Scherrer, W 2001 Tidsseriemodeller for kortsiktig prognose av ozon i østlige delen av Østerrike Environmetrics 12 117 130 CrossRef Google Scholar. Benyelles, B Mourid, T 2001 Estimation de la priode d un prosess temps kontinuerlig representasjon autorgressiv CR Acad Sci Paris Sr I Math 333 245 248 MathSciNet Google Scholar. Besse, P Cardot, H 1996 Approximation spline de la prvision d prosess fonctionnel autorgressif d ordre 1 Revue Canadienne de la Statistique Canadian Journal of Statistics 24 467 487 MathSciNet Google Scholar. Besse, P Cardot, H Stephenson, D 2000 Autoregressiv prognoser for noen funksjonelle klimatiske variasjoner Scand J Statist 27 673 687 CrossRef Google Scholar. Bierens, HJ 1990 Ann conom Statist Minste kvadrat estimering av lineære og ikke-lineære ARMAX-modeller under data heterogenitet 20-21 143 169 MathSciNet Google Scholar. Bondon, P 2001 Rekursive relasjoner for multistep prediksjon av en stasjonær tidsserie J Time Ser Anal 22 399 410 CrossRef MATH MathSciNet Google Scholar. Bosq, D 1991 Nonparametrisk prediksjon for ubundne nesten stasjonære prosesser, I ikke-parametrisk funksjonell estimering og beslektede emner Kluwer Acad Publ Dordrecht 389 403 Spetses, 1990 G oogle Scholar. Bosq, D 2000 Linear prosesser i funksjonsområder Teori og applikasjoner, forelesningsnotater i statistikk, Vol 149 Springer-Verlag New York Google Scholar. Bosq, D Shen, J 1998 Estimering av en autoregressiv semiparametrisk modell med eksogene variabler, J Statist Plann Inferanse 68 105 127 MathSciNet Google Scholar. Boutahar, M 1992 Sterk konsistens av minste kvadrater estimater generelt ARXd p, s system Stochast Stochast Rep 38 175 184 MATH MathSciNet Google Scholar. Cai, Z Masry, E 2000 Nonparametrisk estimering av additiv ikke-lineær ARX tidsserier lokal lineær montering og projeksjoner Econom Theory 16 465 501 MathSciNet Google Scholar. Chen, X Shen X 1998 Sieve extremum estimater for svakt avhengige data Econometrica 66 289 314 MathSciNet Google Scholar. Damon, J Guillas, S 2002 Inkluderingen av eksogene variable i funksjonell autoregressiv ozonprognose Environmetrics 13 759 774 CrossRef Google Scholar. Duflo, M 1997 Tilfeldige iterative modeller Springer-Verlag Berlin Googl e Scholar. Guillas, S 2003 Konvergensnivå av autokorrelasjonsestimater for autoregressive Hilbertian-prosesser, 2001 Statistikk og sannsynlighetsbrev 55 281 291 MathSciNet Google Scholar. Hannan, EJ Deistler, M 1988 Statistisk teori for lineære systemer John Wiley Sons Inc New York Google Scholar. Hoque, A Peters, TA 1986 Finitativ utvalgsanalyse av ARMAX-modellene Sankhy Ser B 48 266 283 MathSciNet Google Scholar. Ihaka, R Gentleman, R 1996 R et språk for dataanalyse og grafikk J Grafisk statistikkstat 5 299 314 Google Scholar. Liu, SI 1995 Bayesian multiperiod-prognoser for ARX-modeller Ann Inst Statist Math 47 211 224 CrossRef MATH MathSciNet Google Scholar. Mas, A 1999 Normal asymptotique de l estimateur empirique de l oprateur autocorrlation d un processus ARH 1 CR Acad Sci Paris Sr I Math 329 899 902 MATH MathSciNet Google Scholar. Merlevde, F 1997 Rsultats de konvergens presque sre pour l estimation et la provision linerires hilbertiens CR Acad Sci Paris Sr I Math 324 573 576 MATH Google Scholar. Mourid, T Bidrag til statistikk av prosess autorgressifs temps continu, thesis, Universit Paris 6, 1995.Nadaraja, EA 1964 På en regresjonsestimat Russisk Teor Verojatnast i Primenen 9 157 159 MATH MathSciNet Google Scholar. Penm, JHW ​​Penm, JH Terrell, RD 1993 J Time Ser Anal Rekursiv tilpasning av undergruppe VARX-modeller 14 603 619 MathSciNet Google Scholar. Pitard, A Viel, J 1999 Et modellvalgverktøy i flerforurensende tidsserier granger - kausalitetsdiagnose Environmetrics 10 53 65 CrossRef Google Scholar. Poskitt, DS Tremayne, AR 1984 Testing mispecification i vektor tidsseriemodeller med eksogene variable, J Roy Statist Soc Ser B 46 304 315 MathSciNet Google Scholar. Pumo, B Estimering og Forbedring av prosess Autorgressifs Fonctionnels Applikasjoner Aux Processus Temps Continu, Ph D avhandling, Universit Paris 6, 1992.Pumo, B 1998 Forutsigelse av kontinuerlige tids prosesser ved C 0,1 - valgt autoregressiv prosess Stat er Inference Stochast-prosess 1 297 309 MATH Google Scholar. Ramsay, J og Silverman B Funksjonsdataanalyse, Springer-Verlag, 1997.Rice, JA Silverman, BW 1991 Estimering av middel - og kovariansstrukturen nonparametrisk når dataene er kurver J Roy Statist Soc Ser B 53 233 242 MathSciNet Google Scholar. Riveraa, DE Gaikwada, SV 1996 Digital PID Controller Design Bruke ARX Estimation Comput Chem Engi 20 1317 1334 Google Scholar. Spliid, H 1983 En rask estimeringsmetode for vektorgruppegrenegivende gjennomsnittlig modell med eksogene variable J Amer Statist Assoc 78 843 849 MATH MathSciNet Google Scholar. Watson, GS 1964 Glatt regresjonsanalyse Sankhya Ser A 26 359 372 MATH MathSciNet Google Scholar. Yoshida, H Kumar, S 2001 Utvikling av ARX-modellbasert off-line FDD-teknikk for energieffektiv bygninger Forny energi 22 53 59 Google Scholar. Copyright informasjon. Kluwer Academic Publishers 2004.Authors and Affiliations. Julien Damon. Serge Guillas.1 Universit Paris 6 Pierre og Marie Curie og Mdiamtrie France.2 Universit Paris 6 Pierre og Marie Curie og Ecole des mines de Douai France. About denne artikkelen.